Approfondimento chiavi ed indirizzi

Come detto nell’articolo precedente ogni transazione bitcoin richiede una chiave pubblica ed una privata, assimilabili relativamente ad un IBAN ed ad un PIN.In questo articolo, un po’ tecnico, andremo ad introdurre il concetto di chiavi crittografiche. Vedremo come queste chiavi vengono generate, archiviate e gestite. Esamineremo anche i vari formati di codifica utilizzati per chiavi pubbliche e private.

In bitcoin viene utilizzata la crittografia a chiave pubblica (o crittografia asimmetrica) per creare una coppia di chiavi che controlla di fatto l’accesso ai bitcoin in portafoglio, questa coppia di chiavi corrisponde per l’appunto con la chiave pubblica e privata. La chiave pubblica è utilizzata per ricevere bitcoin invece quella privata per autorizzare le transazioni. La parte interessante giunge adesso perché esiste una relazione matematica tra chiave pubblica e privata.

Principio di generazione chiave privata e pubblica

La chiave privata è un numero scelto a caso. Dalla chiave privata, tramite l’utilizzo delle curve ellittiche, una funzione di crittografia unidirezionale, viene creata la chiave pubblica. Sulla chiave pubblica viene utilizzata una funzione di hash crittografica unidirezionale per creare l’indirizzo bitcoin.

Adesso approfondiamo tutti i passaggi passo passo

Generazione chiave privata
Generazione chiave pubblica, attraverso curva ellittica
Generazione dell’indirizzo bitcoin, attraverso la funzione di hash

Chiave privata

La chiave privata, come già detto, viene utilizzata per creare firme che sono necessarie per trasferire bitcoin dimostrando la proprietà dei fondi utilizzati nella transazione. Creare una chiave privata non è diverso dallo scegliere un numero da 1 e 2^256.

La chiave privata è un numero, impossibile da prevedere, scelto casualmente fra 1 e n − 1, dove n è l’ordine di G (definiremo cosa è G nello specchietto successivo). Tale numero deve avere lunghezza 256 bit, per cui viene eseguito l’hash SHA-256 avente come output una stringa di lunghezza 256 bit. Se il risultato è inferiore a n−1 abbiamo una chiave privata adeguata, altrimenti si cerca di nuovo con un altro numero casuale.

curve ellittiche

La curva ellittica usata dal sistema Bitcoin ha forma y2 - x3 + ax + b, che varia al variare di a e b. Bitcoin poi pone a = 0 e b = 7, facendo diventare così l’equazione y2 = x3+7, chiamata Secp256k1. Tale curva sul piano reale è rappresentata nel seguente modo:

Il sistema Bitcoin utilizza Secp256k1 definita nel campo (I valori che può assumere la coordinata x (e di conseguenza anche la coordinata y) non sono tutti gli infiniti valori reali (come succede invece a scuola quando si studiano le rette y=ax+b o le parabole y=ax²+bx+c) ma sono solo i valori che corrispondono a elementi di un insieme molto particolare, detto campo) Z_{2²⁵⁶-2³²—977} nel quale le coordinate x e y sono interi a 256-bit modulo un primo molto grande.

Oltre a dei parametri a e b ve ne sono altri quali il modulo (primo) del campo, un punto base che si trova sulla curva e l’ordine del punto base, che non è scelto casualmente ma è una funzione dipendente dagli altri parametri. Bitcoin utilizza dei parametri molto grandi, la sicurezza dell’algoritmo si basa su questi valori che risultano difficili da attaccare attraverso un attacco a forza bruta. Nel caso del Bitcoin:

Modulo (primo):

2²⁵⁶ – 2³² – 2⁹ – 2⁸ – 2⁷ – 2⁶ – 2⁴ – 1= FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFC2F (in esadecimale)

Punto Base G:

x = 79BE667E F9DCBBAC 55A06295 CE870B07 029BFCDB 2DCE28D9 59F2815B 16F81798

y = 483ADA77 26A3C465 5DA4FBFC 0E1108A8 FD17B448 A6855419 9C47D08F FB10D4B8

Ordine:

FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE BAAED- CE6 AF48A03B BFD25E8C D0364141

Per darvi un’idea della dimensione dello spazio di una chiave bitcoin si pensi che essa è approssimativamente di 2^77, gli atomi nell’universo sono stimati essere 2^80

La seguente è una chiave privata mostrata nella sua rappresentazione esadecimale (256 cifre mostrate come 64 cifre esadecimali, ognuna da 4 bit):

1E99423A4ED27608A15A2616A2B0E9E52CED330AC530EDCC32C8FFC6A526AEDD

Chiave pubblica e curve ellittiche

La chiave pubblica è calcolata partendo dalla chiave privata utilizzando la proprietà di moltiplicazione delle curve ellittiche, la quale è un’operazione irreversibile (K=k*G dove k è la chiave privata, G è un punto della curva ellittica costante chiamato PUNTO DI GENERAZIONE o punto base e K è la chiave pubblica risultante). Quindi, partendo da una chiave privata sotto forma di un numero generato in modo casuale k, lo moltiplichiamo con un punto predeterminato sulla curva denominato punto di generazione G per produrre un altro punto in qualche altra parte della curva, che corrisponde alla chiave pubblica K. Ne risulta che una chiave privata può essere sempre convertita in una chiave pubblica, ma una chiave pubblica non può essere riconvertita in una chiave privata perché la funzione matematica utilizzata è unidirezionale. Quindi prendiamo la chiave privata k generata precedentemente e la moltiplichiamo con il punto G per trovare la chiave pubblica K:

K = 1E99423A4ED27608A15A2616A2B0E9E52CED330AC530EDCC32C8FFC6A526AEDD * G

La Chiave Pubblica K è definita come punto K = (x,y): dove,

x = F028892BAD7ED57D2FB57BF33081D5CFCF6F9ED3D3D7F159C2E2FFF579DC341A

y = 07CF33DA18BD734C600B96A72BBC4749D5141C90EC8AC328AE52DDFE2E505BDB

Ricapitolando, la chiave privata è un numero, scelto casualmente fra 1 e n-1, dove n è l’ordine di G. Tale numero deve avere una lunghezza di 256 bit, per cui viene eseguito l’hash SHA-256 che ha come output una stringa di lunghezza 256bit. Se il risultato è inferiore a n-1 abbiamo una chiave privata adeguata, altrimenti si cerca un nuovo numero casuale. La chiave pubblica si deriva dalla seguente equazione: K=k*G. In pratica, la creazione della chiave pubblica è suddivisa in una serie di operazioni raddoppio e somma di punti, partendo da punto base G. A partire dalla chiave pubblica risulta impossibile dedurre la chiave privata, soprattutto se vengono utilizzati dei valori iniziali molto grandi.

Indirizzi e chiavi

Chiunque voglia ricevere un pagamento, o effettuarne uno, deve per prima cosa creare una coppia chiavi pubblica e privata. Ogni utente che partecipa alla rete crea, grazie ad un client, una chiave privata casuale di 256bit. Questa servirà in seguito per firmare la transazione e trasferire i bitcoin al nuovo proprietario. Da questa chiave si genera successivamente la chiave pubblica di 512bit, applicando l’algoritmo ECDSA (curve ellittiche). Tale chiave viene usata da chi riceve il pagamento per verificare che la firma digitale del mittente sia autentica. La chiave pubblica del mittente rappresenta anche il suo indirizzo, che viene condiviso tra gli utenti della rete per eseguire le transazioni. La chiave che viene creata con ECDSA risulta però molto lunga e ciò può causare problemi nella sua trascrizione ed utilizzo. Per accorciarla e renderla facilmente accessibile, si esegue un doppio hash per prima cosa si calcola SHA-256 (PubKey), e successivamente si esegue RIPEMD-160 (SHA-256(PubKey)), infine ogni chiave viene codificata in formato ASCII utilizzando l’algoritmo Base58Check che manda in output un indirizzo del tipo:

1NDpZ2wyFekV ezssSXv2tmQgmxcoHMUJ7u

costituito da caratteri standard. Gli indirizzi degli utenti bitcoin non sono altro che gli hash delle loro chiavi pubbliche.